Pasar al contenido principal

Investigación - IN113318

Content builder
Proyectos financiados

Cálculo de variaciones y control óptimo

Disciplina

Matemáticas

Especialidad

Cálculo, Análisis Matemático, Ecuaciones Diferenciales

Duración

2 Años

Responsable

Gerardo Sánchez Licea

Síntesis: Una componente fundamental de este proyecto de investigación será la interacción con pasantes de las carreras de Matemáticas y Actuaría puesto que me ha sido aprobado por los comités de las licenciaturas correspondientes un seminario de titulación llamado ‘Cálculo de Variaciones y Control Óptimo’. Creemos fielmente que la interacción con los estudiantes nos permitirá desarrollar de forma fructífera este proyecto. En este proyecto de investigación pretendemos ampliar el rango de aplicabilidad de la teoría de cálculo de variaciones y de control óptimo. En cálculo de variaciones existe una condición necesaria clásica de segundo orden que consiste en verificar si una función cuadrática es no negativa en un conjunto de arcos llamado el conjunto de variaciones admisibles. Sucede que la verificación de esta condición, en general, tiene el mismo grado de complejidad que aquel de resolver el problema directamente. Carl Gustav Jakob Jacobi (1804-1851) caracterizó esta condición y su caracterización es muy satisfactoria puesto que su verificación se convierte en general en la resolución de una ecuación diferencial de segundo grado. Sin embargo, es notable mencionar que esta caracterización depende de una hipótesis predeterminada conocida como la ‘no singularidad’. Adicionalmente, puesto que las condiciones suficientes para un óptimo generalmente se obtienen al reforzar las condiciones necesarias más importantes, sucede que las condiciones suficientes para un óptimo también requieren de esta hipótesis estándar de la no singularidad, en otras palabras, las teorías más importantes que  se han desarrollado hasta la fecha para resolver problemas que no satisfacen esta condición predeterminada no dan  una respuesta y de esta manera cuando se presenta un problema ‘singular’ suele

ser muy frecuente que  los estudiosos del problema se topen con una barrera que podría ser equivalente a la de resolver el problema original directamente. El objetivo primordial de este proyecto de investigación consistirá en elaborar una teoría de suficiencia adecuada que sea aplicable para problemas ‘singulares’, es decir, lo que queremos es obtener una amplia cantidad de teoremas que impongan un conjunto de condiciones cuya verificabilidad sea una tarea esperanzadora y que a su vez nos entreguen el resultado principal de este estudio el cual consiste en obtener soluciones de estos problemas de optimización. Cabe señalar que hasta la fecha hemos tenido éxito al desarrollar esta teoría, sin embargo, nos hace falta concluir con ciertos tipos de problemas que representan el mayor reto para la comunidad de investigadores en el área. Estos problemas son aquellos que tienen un tipo muy general de restricciones conocidas como las restricciones con desigualdades. Tenemos el indicio, de acuerdo a lo que hemos estudiado hasta este momento, de que los métodos que hemos utilizado en efecto pueden ser extendidos para atacar este tipo de problemas que involucran restricciones con desigualdades. No obstante, debemos ser cuidadosos puesto que al llevar a cabo este tipo de generalizaciones puede suceder que dentro del conjunto de las nuevas condiciones que estaríamos obteniendo en los nuevos teoremas de suficiencia, la condición de la no singularidad puede estar escondida. De esta manera, tenemos que desarrollar algunos ejemplos o aplicaciones que demuestren que efectivamente nuestra teoría sí está disminuyendo la laguna de la ‘singularidad’.