Encabezado Facultad de Ciencias
Presentación

Matemáticas (plan 1983) 2021-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Topología II

Grupo 4338, 65 lugares. 9 alumnos.
Profesor Carlos Prieto de Castro lu mi vi 12 a 13
Ayudante Luis Alberto Macías Barrales ma ju 12 a 13
 

Topología II - Introducción a la Topología Algebraica.

En este curso se hará una primera introducción a la topología algebraica, asì como a las conexiones de la topologìa con otras áreas de las matemáticas, como el álgebra y la variable compleja.

El temario del curso será:

  1. Variedades topológicas.
  2. Homotopía de funciones continuas.
  3. Grupo fundamental.
  4. Aplicaciones cubrientes.

El primer tema se enfocará en el estudio de las variedades topológicas con y sin frontera. Se analizaran sus propiedades topológicas, las formas de construir nuevas variedades a partir de otras. También se estudiarán las propiedades de subvariedad y encajes de variedades. Finalmente, se estudiará el caso particular de las superficies y se verá el teorema de clasificación.

En el segundo tema se verá el concepto de homotopía, concepto que es de gran importancia, tanto para la topología algebraica como para otras áreas de las matemáticas. Se verán en esta parte nociones como espacios contraíbles, equivalencias homotópicas y se centrará principalmente en el estudio de las homotopías de aplicaciones del circulo en sí mismo. En esta parte podremos probar el teorema fundamental del álgebra con técnicas topológicas.

Para la tercera parte se estudiará el grupo fundamental de un espacio topológico basado en un punto, objeto que fue introducido inicialmente por Poincarè. Se analizarán algunas propiedades que tiene como un invariante topológico y homotópico. El resultado principal de esta sección será el Teorema de Seifert-Van Kampen. En esta sección podremos probar una parte del Teorema de clasificación de las superficies, una parte del Teorema de la curva de Jordan y algunos teoremas de integración de funciones de variable compleja.

Para la parte final, se verán las aplicaciones cubrientes: clases especiales de mapeos continuos, que tienen propiedades importantes de levantamiento de trayectorias y, en general, de levantamientos de funciones continuas. Se estudiarán las relaciones del grupo fundamental de los espacios base y total y el objetivo de esta sección será el estudio del teorema de la aplicación cubriente universal y sus implicaciones con respecto al grupo fundamental. Finalmente, en esta sección podremos probar que todo subgrupo de un grupo libre es libre, usando la herramienta de aplicaciones cubrientes.

La evaluación del curso se realizará por medio de tareas, una por cada tema. Al inicio de cada tema se les proporcionará una lista de ejercicios de repaso y posteriormente se seleccionarán algunos ejercicios de esta lista para evaluar.

La clase se dará por medio de las plataformas Meet (para videollamada), Google Classroom (para la entrega de tareas) y Discord (para responder dudas). Los enlaces para estas plataformas serán:

Meet: https://meet.google.com/gzy-gdqg-ivz

Classroom: https://classroom.google.com/u/1/c/MjgzODkyOTAzNDA4 (2aguwld)

Discord: https://discord.gg/GJQx3cM8

La bibliografía base del curso es: Topología Básica, Carlos Prieto de Castro, Fondo de Cultura Económica, segunda edición.

También se recomiendan los libros:

  • Introduction to Algebraic Topology, J. Rotman, Springer.
  • Algebraic Topology From a Homotopical Point of View, M. Aguilar S. Gitler y C.Prieto , Springer.
  • Introduction to Topological Manifolds, J.M. Leet, Springer.

 


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