Encabezado Facultad de Ciencias
Presentación

Matemáticas (plan 1983) 2021-1

Cuarto Semestre, Álgebra Lineal II

Grupo 4346, 65 lugares. 46 alumnos.
Profesor Luis Manuel Venegas Grajales lu mi vi 18 a 19
Ayudante Christopher Villagra Piña ma ju 18 a 19
Ayudante Karla Estefania García Velasco
 

Presentación:

Este curso tiene por fundamental objetivo presentar el material teórico y práctico propuesto en el temario oficial de Álgebra Lineal II ofrecido por nuestra Facultad de Ciencias. Como valor añadido, segundo objetivo del curso, aunque no necesariamente menos importante, se pretende que el curso sirva como una breve introducción a la Matemática Abstracta vía la Teoría de Categorías. El curso en sí no es una introducción a la Teoría de Categorías, pero puede servir como una "muestra" de algunos conceptos básicos-claves suyos.

Dice Lawvere en su libro "Matemáticas Conceptuales. Una primera Introducción a la Teoría de Categorías" :

[...] Hay en estas páginas conceptos generales que trascienden las fronteras artificiales que dividen aritmética, lógica, álgebra, geometría, cálculo, etc.

La Teoría de Categorías aparece, con los trabajos de Eilenberg y MacLane, como una teoría que unifica el trabajo de las diferentes áreas de la matemática. Pero además, se ocupa de estudiar los objetos por sus relaciones con los demás y no por observarlos interiormente. Por otro lado, en algunos universos particulares, se trata de detectar lo importante, lo sustancial para llevarlo a universos abstractos, esto es, construir categorías más generales [1].

El temario del curso es el siguiente:

% Bloque 1.
• El álgebra de la composición de funciones (Algunas propiedades principales: asociatividad, existencia de elementos neutros e invertibilidad.).
• Álgebra de matrices (Algunas propiedades principales de la multiplicación de matrices: asociatividad, existencia de elementos neutros e invertibilidad [El Grupo Lineal General de orden n]).
• Ejemplos de estructuras algebraicas: magmas, monoides, grupos, anillos y k - álgebras.
% Bloque 2.
• Representación de las Transformaciones Lineales.
– El espacio de las Transformaciones Lineales.
– La representación de Hom\left(k^{n},k^{m}\right).
– La representación de Hom\left(V,V^{\text{´}}\right).
– El espacio dual.
– Cambio de base.
% Bloque 3.
• Espacios con producto interior.
– Espacios con producto interior real.
– Espacios con producto interior complejo.
% Bloque 4.
• Vectores y valores propios.
• Transformaciones Lineales Unitarias y Auto-Adjuntas.
• Descomposición Espectral.
% Bloque 5.
• Triangulación y Descomposición de Endomorfismos.
– El Teorema de Cayley-Hamilton.
– Triangulación de Endomorfismos.
– Descomposición en Subespacios Característicos.
– Endomorfismos Nilpotentes y Forma Normal de Jordan.
% Bloque Libre.
• Temas aledaños.
– Brevísima introducción a las Categorías y Funtores.
– Brevísima introducción a la diferenciación de funciones en el espacio euclídeo \mathbb{R}^{n}.
• Bibliografía:
– Álgebra Lineal. Álgebra Multilineal y K - Teoría Algebraica Clásica. Emilio Lluis Puebla.
– Linear Algebra. An Introduction to Abstract Mathematics. Robert J. Valenza.
– Algebra lineal. Stephen H. Friedberg

Se tiene la propuesta de impartir el curso mediante la plataforma Google-Meet, y como apoyos adicionales, abrir un grupo en Fb o utilizar el servicio web Google Classroom o, si así resultase conveniente, también abrir un grupo de WhatsApp. El grupo de Fb, por ejemplo, servirá como la herramienta principal de comunicación y acceso a materiales escritos y videograbados propios del curso. En lo tocante a este último punto, la idea es que tales materiales sirvan como una útil y poderosa base para el aprendizaje de los alumnos interesados. Por tal motivo, tanto los escritos como los videos serán breves, pero producidos de manera continua.

La porpuesta en cuanto a la forma de evaluación es la siguiente: "Tareas-examen" pequeñitas, individuales, una por semana o cada quince días. Se concibe también la posibilidad de una dinámica de exposiciones a intervalos más amplios (éstas podrían servir a los alumnos para compensar algunas tareas no entregadas o para mejorar sus promedios). Los únicos exámenes reales en el curso serán para aquellos que así los soliciten en modalidad de reposiciones, o el clásico examen final (es decir, sí habrá reposiciones, y en última instancia, examen final).

Efectivamente, el curso será muy accesible en todo sentido, pero no falto de rigor, pues lo que se busca es que los alumnos aprendan buenas matemáticas sin necesidad de exponerlos a presiones artificiosas añadidas a la difícil problemática actual.

Comentarios, dudas y sugerencias: LenuamSiul@ciencias.unam.mx

Classroom del curso:

Por favor, ingresen a la siguiente liga usando su correo de la Facultad:

https://classroom.google.com/

Agreguen el curso mediante el siguiente código:

Sírvanse comunicarse con nosotros, mediante los correos disponibles, en caso de cualquier tipo de duda o comentario.

Iniciamos clases el jueves 24 de septiembre de 2020.

[1] Una nota conceptual sobre los topos de Grothendieck. Reinaldo Montañez. pp. 71-92. Grothendieck. Visiones sobre multiplicidad de su obra. Fernando Zalamea.

 


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