Encabezado Facultad de Ciencias
Presentación

Matemáticas (plan 1983) 2018-1

Tercer Semestre, Cálculo Diferencial e Integral III

Grupo 4140 27 alumnos.
Profesor Alessio Franci lu a sá 7 a 8 O219
Profesor Sebastián Nájera Valencia
Ayudante Pedro Jesús Trejo Calderón lu mi vi 8 a 9 O219
 

El curso de Cálculo Diferencial III es un curso esencial en la formación de un científico. Podría decirse sin lugar a dudas que es uno de los cursos más importantes de las carreras de Actuaría, Física y Matemáticas. Asimismo, esta materia da los fundamentos básicos para poder estudiar temas más avanzados afuera y adentro de las matemáticas, como la electrodinámica, con el estudio de las ecuaciones diferenciales parciales, el estudio de membranas, con técnicas de geometría diferencial, los problemas de bifurcación, con técnicas de la teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales, y la dinámica de los sistemas biológicos a través de la teoría de catástrofes.

Con el paso del tiempo, cada rama de la actuaría, las matemáticas y la física se han vuelto más especializadas y requieren interactuar cada vez más con otros campos del conocimiento. Sobre todo, dentro de la parte teórica de estas áreas se requiere que el estudiante interesado en adentrarse a la frontera del conocimiento del área que es de su interés, sepa una gran cantidad de matemáticas, que como bien se sabe es el lenguaje de las ciencias exactas.

En este curso se generalizarán los conceptos que se vieron en el primer curso de Cálculo para funciones reales de una variable a funciones vectoriales de varias variables. Esto nos llevará naturalmente al estudio de la estructura de R^n y a ver el diferencial como un mapeo lineal en R^n.

Dado lo anterior, es necesario introducir conceptos de otras áreas de las matemáticas, que en principio podrían parecerle al estudiante ajenas al Cálculo, como la topología y el álgebra lineal: una de las metas principales del curso es que el estudiante pueda apreciar la interacción entre distintas ramas de las matemáticas. Así, el curso comienza con una revisión de los conceptos de espacios vectoriales y una introducción a la topología, en particular la de R^n.

Los temas abordados en Calculo III proveen un puente único entre intuición geométrica y generalidad formal. Muchos de los conceptos presentados en R^n (¡pero no todos!) son casos particulares de conceptos que siguen siendo válidos en espacios más generales y en disciplinas distintas al cálculo. Por esto es que el enfoque de este curso dista de un curso tradicional, al buscar que el alumno desarrolle capacidades críticas de generalización estudiando espacios métricos y apuntando en particular a los casos en los cuales los resultados en R^n no se generalizan. Dado que el curso toca de manera natural ciertos conceptos de Geometría Diferencial, es una buena excusa para dar una introducción a la teoría de curvas, así como otros conceptos de esta bella rama de las matemáticas que surgen en el camino.

Este enfoque permitirá, más adelante, adentrarse de manera natural al estudio de unos espacios más generales llamados variedades diferenciables, las cuales son parte fundamental de muchas de las teorías físicas y matemáticas en la actualidad, como son la Teoría de los Grupos Continuos, la Geometría Diferencial Moderna y la Relatividad General, así como las teorías de unificación, como son la teoría de cuerdas.

Como podrán notar los estudiantes interesados en este curso, el temario que a continuación se muestra difiere en algunos sentidos al temario oficial de la Facultad, que, sin lugar a dudas, se cubrirá en este curso. Sin embargo, ambos profesores consideramos que dichos cambios son pensados en los estudiante y con el afán de desarrollar más la teoría que esta bella materia tiene por ofrecer, de tal manera que el estudiante pueda apreciar la imporatnacia del Cálculo Diferencial en su totalidad.

Es importante señalar que la materia requiere un gran compromiso por parte del estudiante.

Temario

  1. Topología y espacios métricos

    1. Nociones de teoría de conjuntos

    2. Nociones avanzadas de Álgebra Lineal

    3. Espacios vectoriales de dimensión finita

    4. Espacios Métricos y Normados

    5. Topología de los espacios métricos

    6. Sucesiones en R^n

    7. Convergencia y continuidad en espacios métricos

    8. Elementos de topología en R^n

    9. Más sobre la topología de espacios métricos

  2. Diferenciación en espacios Euclideanos

    1. Funciones de R^n a R^m

    2. Subespacios afines

    3. La Derivada

    4. Funciones continuamente diferenciables

    5. Regla de la cadena

    6. Teorema del Valor Medio

    7. Introducción a la geometría diferencial clásica

    8. Los teoremas de los mapeos y las funciones implícitas

    9. Curvas y superficies de nivel

    10. Derivadas de órdenes superiores

    11. Problemas de extremos

  3. Diferenciación en espacios vectoriales

    1. Infinitesimales

    2. El diferencial

    3. Derivadas direccionales y el teorema del valor medio

    4. El diferencial y espacios producto

    5. El diferencial y R^n

    6. Aplicaciones

    7. Segundo diferencial y clasificación de puntos críticos

    8. Introducción a los espacios de Banach*

    9. Los teoremas de las funciones implícita e inversa

    10. Subvariedades y los multiplicadores de Lagrange

Evaluación: 100% Exámenes

 


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