Encabezado Facultad de Ciencias
Presentación

Matemáticas (plan 1983) 2017-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario Matemáticas Aplicadas I

Grupo 4290, 63 lugares. 18 alumnos.
Métodos matemáticos de mecánica clásica
A partir del viernes 10 de febrero, al O130
Profesor Efraín Vega Landa lu mi 14 a 16 O130
Ayudante Juan Manuel Buchanan Espindola vi 14 a 16 O130
 

SEMINARIO DE MÉTODOS MATEMÁTICOS DE MECÁNICA CLÁSICA.

Muchos métodos y conceptos matemáticos son usados en Mecánica clásica: ecuaciones diferenciales y flujos fase, variedades y mapeos suaves en ellas, grupos y álgebras de Lie, geometría simpléctica y teoría ergódica, geometría y topología diferencial, cálculo de variaciones, etc...
En este seminario abordaremos dichos métodos y conceptos.

La Mecánica clásica tiene sus orígenes en problemas que han interesado a lo largo del tiempo (prácticamente a todos en mayor o menor medida), en general el movimiento. Tratar de entenderlo, analizarlo y modelarlo es una historia que se ha ido moldeando al pasar del tiempo (el estudio del movimiento se ha ido movimiendo). Para contestar aquellas "míticas preguntas" sobre el movimiento de los cuerpos se han constituído algunas teorías que han mostrado ser sólidas ante ataques de incredulidad, estructura lógica, e incluso discusiones en el plano de las aplicaciones "prácticas".

Tres de los modelos para hacer mecánica son el Newtoniano, el debido a Lagrange y la Mecánica Hamiltoniana.

¿Qué tipo de movimientos modelan dichas teorías?,

¿qué resultados se pueden obtener con ellas?

¿qué limitaciones tienen?

¿qué diferencias tienen las tres teorías y en qué se parecen?

¿qué consecuencias para las Ciencias, la Tecnología, la Historia, la Humanidad han tenido tales teorías?

Trataremos de responder a éstas cuestiones a lo largo del curso -más, las que se acumulen en él.

Existen varias referencias para consultar aquellos temas, sin embargo hay una referencia que es muy conocida en los mundos de las Ciencias Exactas por ser una exposición clara, completa y muy ilustrativa al respecto, referencia casi obligada en el tema, es conocida como "El Arnold".
Vladimir Igorevich Arnold, Matemático con M mayúscula, cuyo nombre es firma y sello de bastantes Teoremas de interés en la actualidad, en áreas muy diversas, más no separadas. Arnold nos dejó entre su legado, un libro para estudiar y llevar a buen curso un análisis de la materia: ARNOLD, V. I., Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer, 1978. El libro es bueno, aunque demanda discusión de los temas, reflexión, tiempo para entender lo que dice y por supuesto, detenerse a pensar con calma las cosas que él escribió al respecto, pues para él muchas cosas eran triviales y no necesitaban más que un renglón para ser mencionadas.
Si bien, nuestro libro de texto en torno al cuál girará el curso será el libro de Arnold, no será el único recurso con que contaremos y tendremos por satélites las referencias necesarias a lo largo del Seminario.
Este curso puede servir a estudiantes que quieran aprender -o incluso profundizar- en tópicos de Mecánica Clásica, Geometría Y Topología, la interacción de las últimas con Física, Formas Diferenciales, Geometría Simplética, Sistemas Dinámicos, entre otros.
El temario propuesto será, siguiendo a Arnold:
1era entrega. "Hechos experimentales"
Consideraciones básicas acerca de la determinancia y la relatividad. Grupo de Galileo.
Ejemplos de Sistemas Mecánicos, muchos ejemplos.
Sistemas con un grado de libertad.
Sistemas con dos grados de libertad.
Campos Conservativos.
Momemtum (momento angular).
Campos centrales.
Sistemas de varias partículas.
Método de similaridad.
2da entrega. Mecánica Lagrangiana.
Métodos variacionales. Algunas consideraciones sobre el cálculo de variaciones.
Obtención de las ecuaciones de Euler-Langrange y su importancia.
Transformación de Legendre.
Obtención de las ecuaciones de Hamilton y su importancia.
Teorema de Liouville.
Revisión de algunas ideas acerca de variedades (con énfasis en variedades diferenciables).
Sitemas dinámicos Lagrangianos.
Teorema de Noether.
Pricipio de D´Alembert.
Oscilaciones.
Resonancia Paramétrica.
Movimiento en sistemas de referencia que se mueven.
Fuerza de Coriolis.
Dinámica de cuerpo rígido.
Consideraciones tipo Poinsot acerca del movimiento.
El trompo de Lagrange.
Entrega especial. Formas diferenciales.
Entrada consistente de formas diferenciales, se inluirán con detalle las construcciones sobre:
-Formas.
-Multiplicación exterior.
-Las formas diferenciales.
-Integración de formas.
-Diferenciación exterior.
-Algunas aplicaciones de las formas a otras áreas.
3era Entrega. Mecánica Hamiltoniana.
Estructuras simplécticas.
Flujos hamiltonianos e invariantes.
Álgebras de Lie de E.V. y de Hamiltonianos.
Consideraciones sobre Geometría Simpléctica.
Resonancia paramétrica parte II (muchos grados de libertad).
Teorema de Darboux.
Invariante de Poincaré-Cartan.
Principio de Huygens.
Método de Hamilton-Jacobi para la integración de las ecuaciones canónicas de Hamilton.
"Método" de Funciones generatrices.
Perturbaciones.

Iremos viendo los temas con el tiempo necesario y con el énfasis debido, esto es, se revisarán tantos temas como nos sea posible, pertinente y como los alumnos vayan manejándolos, la idea es la del título, manejar métodos para poder hacer Mecánica.

Si bien, el curso tiene un enfoque "holístico" y por lo tanto serán revisadas muchas ideas de áreas/materias muy diversas, no se requiere haber llevado cinco cursos de topología, las tres variables complejas, y como veinte geometrías, sí es deseable un espíritu de no-discriminación de áreas y estar abierto a que la Matemática es una (Arnold mismo mencionaba mucho que una falla en los Sitemas Educativos de Matemáticas era aquella tendencia a segmentar/dividir las matemáticas, cosa que ocurría a menudo desde los niveles más básicos hasta facultades de estudios superiores). El único requisito que sí pedirá el curso será tener ganas de aprender temas por mucho fascinantes.

 


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