Encabezado Facultad de Ciencias
Presentación

Matemáticas (plan 1983) 2020-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Análisis Matemático A

Grupo 4256, 33 lugares. 8 alumnos.
Introducción a la teoría espectral de operadores lineales con aplicaciones a ecuaciones diferenciales parciales
Profesor Felipe Angeles García lu mi vi 15 a 16 P118
Ayudante Alonso García Gascón ma ju 15 a 16 P118
 

Requistos: Cálculo I-IV, Álgebra lineal I-II, Ecuaciones Diferenciales Ordinarias I, Variable Compleja I y Análisis Matemático I-II.

Temario:

I. Teoremas fundamentales para espacios normados y de Banach.

  • Teorema de Categoría de Baire y algunas consecuencias.
  • Pricipio de acotamiento uniforme y algunas consecuencias.
  • Teorema del mapeo abierto y alguna consecuencias.
  • Teorema de la gráfica cerrada y el teorema de Hellinger-Toeplitz.
  • Teorema de Hahn-Banach y corolarios.
  • Teorema de Banch-Alaoglu.
  • Exitencia de la integral funcional e integral de Bochner.

II. Teoría espectral para operadores lineales compactos.

  • Operadores lineales continuos.
  • Espectro y resolvente.
  • Operadores lineales compactos y propiedades espectrales.
  • Alternativa de Fredholm.
  • Aplicaciones a ecuaciones integrales lineales.
  • Propiedades espectrales para operadores lineales compactos y autoadjuntos (teorema de Hilbert-Schmidt).
  • Aplicaciones a ecuaciones diferenciales parciales elípticas lineales.

III. Análisis espectral del Laplaciano.

  • Operador de Laplace-Dirichlet.
  • Eigenfunciones para el operador de Laplace-Dirichlet.
  • Fórmulas min-max y max-min de Courant-Fisher.

IV. Introducción a la teoría de semigrupos de operadores lineales.

  • Operadores lineales no-acotados.
  • Semigrupos fuertemente continuos y generadores infinitesimales.
  • C0 semigrupos y genreadores infinitesimales.
  • Teoremas de Generación (Hille-Yosida, Feller-Miyadera-Phillips, Lumer-Phillips y teorema de Stone).

V. Operadores diferenciales que generan C0 semigrupos.

  • Operador de Laplace-Dirichlet.
  • Operador de Laplace-Neumann.
  • Operador de Maxwell.
  • Operador de Schrödinger.
  • Operador de onda.

VI. Problema de Cauchy no homogéneo.

Notas:

  • Si l mayoría de los interesados ya están familiarizados con los teoremas básicos en espacios de Banach, los omitiremos del temario.

Bibliografía:

  • Adams, Fournier. Sobolev Spaces.
  • Bressan. Lecture Notes on Functional Analysis.
  • Brezis. Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations.
  • Ciarlet. Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications.
  • Davies. One-Parameter Semigroups.
  • Engel, Nagel. One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations.
  • Evans. Partial Differential Equations.
  • Kesavan. Topics in Functional Analysis and Applications.
  • Pazy. Semigroups of linear Operators and Applications to Partial Differential Equations.
  • Porter, Stirling. Integral Equations.
  • Robinson. Infinite-Dimensional Dynamical Systems.
  • Yosida. Functional Analysis.

Evaluación:

  • El curso se evaluará con 70% exámenes parciales (al menos 3), y 30% una tarea-examen.
  • El alumno tendrá derecho a una reposición.
  • Habrá un examen final para quien lo requiera pero éste constará de una tarea examen y dos exámenes presenciales.

 


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