Matemáticas (plan 1983) 2020-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Análisis Matemático A

Requistos: Cálculo I-IV, Álgebra lineal I-II, Ecuaciones Diferenciales Ordinarias I, Variable Compleja I y Análisis Matemático I-II.

Temario:

I. Teoremas fundamentales para espacios normados y de Banach.

• Teorema de Categoría de Baire y algunas consecuencias.
• Pricipio de acotamiento uniforme y algunas consecuencias.
• Teorema del mapeo abierto y alguna consecuencias.
• Teorema de la gráfica cerrada y el teorema de Hellinger-Toeplitz.
• Teorema de Hahn-Banach y corolarios.
• Teorema de Banch-Alaoglu.
• Exitencia de la integral funcional e integral de Bochner.

II. Teoría espectral para operadores lineales compactos.

• Operadores lineales continuos.
• Espectro y resolvente.
• Operadores lineales compactos y propiedades espectrales.
• Alternativa de Fredholm.
• Aplicaciones a ecuaciones integrales lineales.
• Propiedades espectrales para operadores lineales compactos y autoadjuntos (teorema de Hilbert-Schmidt).
• Aplicaciones a ecuaciones diferenciales parciales elípticas lineales.

III. Análisis espectral del Laplaciano.

• Operador de Laplace-Dirichlet.
• Eigenfunciones para el operador de Laplace-Dirichlet.
• Fórmulas min-max y max-min de Courant-Fisher.

IV. Introducción a la teoría de semigrupos de operadores lineales.

• Operadores lineales no-acotados.
• Semigrupos fuertemente continuos y generadores infinitesimales.
• C0 semigrupos y genreadores infinitesimales.
• Teoremas de Generación (Hille-Yosida, Feller-Miyadera-Phillips, Lumer-Phillips y teorema de Stone).

V. Operadores diferenciales que generan C0 semigrupos.

• Operador de Laplace-Dirichlet.
• Operador de Laplace-Neumann.
• Operador de Maxwell.
• Operador de Schrödinger.
• Operador de onda.

VI. Problema de Cauchy no homogéneo.

Notas:

• Si l mayoría de los interesados ya están familiarizados con los teoremas básicos en espacios de Banach, los omitiremos del temario.

Bibliografía:

• Adams, Fournier. Sobolev Spaces.
• Bressan. Lecture Notes on Functional Analysis.
• Brezis. Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations.
• Ciarlet. Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications.
• Davies. One-Parameter Semigroups.
• Engel, Nagel. One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations.
• Evans. Partial Differential Equations.
• Kesavan. Topics in Functional Analysis and Applications.
• Pazy. Semigroups of linear Operators and Applications to Partial Differential Equations.
• Porter, Stirling. Integral Equations.
• Robinson. Infinite-Dimensional Dynamical Systems.
• Yosida. Functional Analysis.

Evaluación:

• El curso se evaluará con 70% exámenes parciales (al menos 3), y 30% una tarea-examen.
• El alumno tendrá derecho a una reposición.
• Habrá un examen final para quien lo requiera pero éste constará de una tarea examen y dos exámenes presenciales.