Encabezado Facultad de Ciencias
Presentación

Matemáticas (plan 1983) 2018-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Geometría A

Grupo 4283, 20 lugares. 10 alumnos.
geometria hiperbólica
Profesor Antonio Lascurain Orive lu mi vi 12 a 13 P204
Ayudante Helena Lizarraga Colli ma ju 12 a 13 P204
 

Disfruta este bellísima área de la matemática (geometría hiperbólica) al inscribir este seminario que muestra que las matemáticas pueden no ser ramas aisladas, sino que todo está conectado: geometría, variable compleja, análisis real, álgebra, topología, fractales, relatividad, teoría de números, etcétera. Todo incide en esta área como lo mostró Thurston (medalla Fields) en sus trabajos que marcaron uno de los hechos más importantes de las matemáticas de los últimos 50 años. El único requisito es haber llevado variable compleja I, o estarla llevando. Ciertamente, en esta área hay muchos temas variados para hacer tesis de licenciatura.

Algunas relaciones son:

a) Variable Compleja (superficies de Riemann, transformaciones de Mobius),

b) Álgebra ( PSL(2,C) y sus subgrupos discretos, álgebra de cuaternios),

c) Geometría (teselaciones),

d) Fractales (conjuntos límite de grupos kleinianos),

e) Relatividad (Lorentz isomorfo a PSL(2,C) )

f) Teoría de números (subgrupos modulares)

g)Topología (3-variedades hiperbólicas)

h) Sistemas dinámicos (Julia, conjunto límite, fractales)

TEMARIO:

1.TRANSFORMACIONES DE MOBIUS. Proyección estereográfica,métrica cordal, transformaciones de Möbius,(PSL(2,C), propiedades, clasificación y geometría, biyecciones meromorfas y conformes de la esfera en la esfera, transformaciones que preservan "discos", PSL(2,R), M($\Delta$),multiplicadores, puntos fijos, clasificación por la traza. Densidades, métrica hiperbólica del semiplano y del disco de Poincaré, fórmulas de distancia, geodésicas, círculos, paralelismo, ejemplos. Grupos generados por reflexiones, grupo general de Möbius grupo de todas las isometrías, haces de geodésicas y haz ortogonal, breve introducción a la geometría hiperbólica tridimensional.

2.DISCONTINUIDAD, GRUPOS FUCHSIANOS. Conmutatividad y puntos fijos en PSL(2,C), discontinuidad, conjunto límite y ordinario, propiedades de conjugación e invariabilidad, el grupo clásico modular, subgrupos principales de congruencias, grupos discretos, relación discreto-discontinuo, dominio de discontinuidad para subgrupos discretos de PSL(2,R), grupo abeliano implica cíclico, criterios de discrecionalidad, grupos estabilizadores, grupos fuchsianos, grupos horocíclicos, grupos normales de horocíclicos son horocíclicos, grupos normalizadores, grupos puramente hiperbólicos, teorema de Siegel, Lauritzen. Conjunto límite de un grupo fuchsiano, propiedades: cerrado, perfecto, acumulación de casi todas las órbitas,en ninguna parte denso o toda la recta. Conjunto derivado, grupos elementales y no elementales,otras caracterizaciones del conjunto límite: cerradura de los puntos fijos hiperbólicos o parabólicos.

3.REGIONES FUNDAMENTALES. Conjunto fundamental, región fundamental, ejemplos, área hiperbólica, invariabilidad bajo PSL(2,R), bisector perpendicular = puntos equidistantes, h-convexidad, Construcción del polígono de Dirichlety prueba de que éste es una región fundamental localmente finita,polígonos de Dirichlet de grupos cíclicos. Polígono de Ford, círculos isométricos, prueba de que el polígono de Ford es una región fundamental, región de Ford-Dirichlet para el grupo modular, otros ejemplos de regiones fundamentales para subgrupos modulares.

Texto: “Una introducción a la geometría hiperbólica bidimensional´´, 2a edición, Antonio Lascurain Orive, Facultad de Ciencias.UNAM, 2015.

Bibliografía Complementaria:

J. Lehner“A Short Course in Automorphic Functions”.Holt, Rinehart and Winston. 1966.

A. Beardon "The Geometry of Discrete Groups" GTM, Springer-Verlag. 1983,1995

B. Maskit " Kleinian Groups", Springer Verlag. 1987

J. Ratcliffe "Foundations of Hyperbolic Manifolds" GTM, Springer Verlag.,1995.

D. Munford, C. Series y D. Wright "Indras Pearl´s, Cambridge University Press, 2002

Marden "Outer Circles, the Geometry of Hyperbolic 3-manifolds" Cambridge 2007REQUISITO:VARIABLE COMPLEJA I. o llevarla de manera simultánea

Dr. Antonio Lascurain, cubículo 233, Departamento de Matemáticas.

Abajo aparece un conjunto límite de un grupo kleiniano

 


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