Encabezado Facultad de Ciencias
Presentación

Matemáticas (plan 1983) 2017-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Topología B

Grupo 4282, 56 lugares. 7 alumnos.
Profesor Lorena Armas Sanabria lu mi vi 14 a 15 P213
Ayudante Grissel Santiago González ma ju 14 a 15 P213
 

Seminario de Topología B

Introducción a la Teoría de Nudos

Prof. Lorena Armas Sanabria

SEMESTRE: VII, VIII.
CLAVE: 0712
HORAS A LA SEM./SEMESTRE: Teóricas 5/80, Créditos: 10. CARÁ
CTER: OPTATIVO.
MODALIDAD: CURSO.
SER. INDICATIVA ANTECEDENTE: Á
lgebra Moderna I, Topología I. SERIACIÓN INDICATIVA SUBSECUENTE: Ninguna.

Este curso, como su nombre lo indica es introductorio. No se pide que sepan el grupo fundamental pues será una parte temática del curso. Se evaluará con tareas y con una exposición de algún artículo que cada alumno elija, yo se los proporcionaré. Será importante la asistencia y la participación. Se ha dividido en 3 partes, pero al final si el tiempo lo permite abordaremos algo acerca de la Topología del ADN.

UNIDADES TEMÁTICAS:

Comenzaremos con las nociones básicas, los tipos de nudos ( a los cuales podemos considerarlos encajados en R3 o S3), y cómo trabajar con ellos por medio de las proyecciones regulares en un plano. Veremos que siempre es posible tener una proyección regular de un nudo. Definiremos lo que se llama el tipo de nudo lo cual involucra el concepto de clases de equivalencia y veremos cómo las movidas de Reidemeister nos dan un criterio para saber si dos nudos son del mismo tipo.

1. - Definición de un nudo.
2. - Nudos mansos y Nudos salvajes.

3. - Proyecciones regulares de nudos.

4. - Nudos anfiqueirales y nudos invertibles.

5. - Movidas de Reidemeister.

En la segunda parte estudiaremos algunos invariantes de los nudos. Estos invariantes como por ejemplo el número de cruces y coloreabilidad son fáciles de definir pero esto no implica que sean fáciles de calcular. Otro invariante muy importante es el grupo fundamental de un nudo. Aquí primero definiremos lo que es el grupo fundamental de un espacio topológico y veremos algunos ejemplos. Posteriormente definiremos el grupo fundamental de un nudo y estudiaremos cómo la presentación de Wirtinger es un algoritmo que nos permite calcularlo.
6. - Invariantes de nudos.
7. - El grupo fundamental.
8. - Grupo fundamental de un nudo.
9. - La presentación de Wirtinger.

Finalmente, abordaremos lo que se llama una superficie de Seifert de un nudo, ésta es una superficie cuya frontera es precisamente el nudo, calcularemos el género de dicha superficie y veremos algunas propiedades. Dos invariantes muy importantes de los nudos son el polinomio de Alexander y el polinomio de Jones. Veremos cómo se definen y haremos algunos ejemplos. Estudiaremos un poco el grupo de trenzas y veremos cómo se relaciona con los nudos y enlaces. En particular revisaremos el teorema de Alexander el cual nos dice que a todo nudo o enlace se le puede asociar una trenza cerrada, y el teorema de Markov que nos da un criterio para determinar si dos trenzas cerradas determinan un mismo nudo o enlace.
10. - Superficies de Seifert.
11. - Polinomio de Alexander.
12. - Polinomio de Jones.
13. - El grupo de trenzas.

BIBLIOGRAFÍA BÁSICA:

- Introduction to Knot Theory, R.H. Crowell, R. H. Fox, Graduate Texts in Mathematics 57, Springer-Verlag, 1977
-
An Introduction to Knot Theory, W.B. R. Lickorish, Graduate Texts in Mathematics 175, Springer,1997

- Knots and Links, D. Rolfsen, Publish or Perish, 1976
-
Braids, links and mapping class groups, J. S. Birman, Ann. of Math. Studies 82, Princeton University Press, 1974

BIBLIOGRAF ́IA COMPLEMENTARIA:
- Knots, G. Burde, H. Ziechang, de Gruyter, 1986.

 


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