Encabezado Facultad de Ciencias
Presentación

Matemáticas (plan 1983) 2017-2

Cuarto Semestre, Álgebra Lineal II

Grupo 4123, 67 lugares. 19 alumnos.
Profesor Natalia Bárbara Mantilla Beniers lu mi vi 15 a 16 O215
Ayudante Iván Axell Gómez Ramos ma ju 15 a 16 O215
 

Álgebra lineal II

Natalia Mantilla Beniers

Axel Gómez Ramos

En el primer curso de álgebra lineal se estudian las propiedades básicas de transformaciones lineales aplicadas a diversos espacios vectoriales. Esto incluye una discusión de lo que caracteriza a un espacio vectorial, la revisión de múltiples ejemplos y conceptos centrales al estudio de espacios vectoriales como son las bases. La noción de base, a su vez, nos permite identificar espacios vectoriales de la misma dimensión y llevar el estudio de las transformaciones lineales al estudio de matrices que las representan. Esto motiva el estudio de las llamadas operaciones elementales, su identificación con matrices elementales y cómo se relacionan éstas con propiedades centrales de una transformación lineal, como por ejemplo el rango.

Las propiedades de los espacio vectoriales y transformaciones lineales ayudan a estudiar las soluciones a sistemas de ecuaciones lineales y junto con las matrices elementales llevan a proponer algoritmos de solución (como la eliminación gaussiana). También permiten dar un algoritmo para el cálculo de matrices inversas (cuando la matriz original es invertible).

Una prueba diagnóstica de la invertibilidad de una matriz involucra el cálculo de su determinante, y es precisamente la búsqueda de soluciones no triviales a un sistema homogéneo de ecuaciones (soluciones que sólo existen si su determinante es cero) lo que se utiliza en la diagonalización de matrices.

Como veremos en detalle, las matrices diagonales permiten hacer una lectura geométrica muy directa de cómo actúa la transformación lineal sobre el espacio vectorial. Es por ello que resulta interesante saber cuándo una matriz es diagonalizable y cómo se puede diagonalizar, temas con los que inicio el segundo curso de álgebra lineal.

Cuando una matriz no se puede diagonalizar aún es posible llevarla a una forma más simple, como se estudia con la teoría de Jordan.

Dado que la estructura de un espacio vectorial aún no lleva intraconstruida una noción de distancia, y que ésta es importante en muy diversas aplicaciones, uno de los conceptos críticos de este curso es el de producto interior. Los espacios vectoriales con producto interior y las transformaciones entre ellos son el objeto central de estudio, y llevan al teorema espectral.

Otro tema en que puede aprovecharse la teoría desarrollada es en el estudio de formas cuadráticas, las funciones que siguen en simplicidad a las transformaciones lineales. Como veremos (y según se usó en cursos de geometría analítica), aquéllas que son reales y simétricas pueden escribirse en relación con un sistema de referencia rotado, respecto del cual no tienen términos mixtos. Una vez más, esto simplifica su interpretación y estudio.

Para motivar el tema de diagonalización con que inicia el curso, hablaré de algunos modelos sencillos de sistemas biológicos.

Forma de evaluación

El curso se evalúa con base en cuatro calificaciones parciales, cada una de las cuales consta de tarea y examen. El examen conforma un 70% de la calificación, la tarea el otro 30%. El último examen se aplica en la primera semana de finales, y en la segunda semana pueden presentarse hasta dos reposiciones o un examen final, de ser necesario o deseable. Ninguna calificación inferior a 6 es aprobatoria, y sólo se redondean para arriba promedios con decimales iguales o mayores a 6 (por ejemplo, 7.6, 8.56). La única razón por la que pongo NP es que no se haya entregado ningún material (tarea o examen) a calificar.

Bibliografía

Friedberg, SH, Insel, AJ y LE Spence, Linear Algebra, Prentice Hall, 4a edición.

Axler, S., Linear Algebra Done Right, Springer, 2a edición.

Treil, S., Linear Algebra Done Wrong, Brown University (disponible en línea).

 


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